解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)[n/(n+1)]^n=1/e，∴收敛半径R=1/ρ=e。
又lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<e，即-e<x<e。
而当x=e时，lim((n→∞)an→√(2πn)→∞，发散；当x=-e时，lim((n→∞)an→[(-1)^n]√(2πn)，是交错级数，不满足莱布尼兹判别法条件，发散。
∴收敛区间为-e<x<e，即x∈(-e,e)。
供参考。
幂级数收敛域的求法如下：
利用比值判别法，R=lima/a=lim[(1+1/n)^(n^2)]/{[(1+1/(n+1)]^[(n+1)^2]}=lime^n/e^(n+1)=1/e，x=1/e时级数化为∑1;x=-1/e时级数化为∑(-1)^n，收敛域x∈(-1/e,1/e)。
收敛域就是判断在收敛区间的端点上是否收敛。譬如说求出一个级数的收敛半径为5那么此时收敛区间为(-5，5)而下一步求收敛域就带x=-5和x=5，分别看是否收敛。
概念分析
1、确定级数的系数通项表达式；根据系数通项表达式得到第n+1个系数的表达式；利用收敛半径公式，带入系数表达式求收敛半径R。
2、在原级数中带入x=-R判断x=-R处左端点的收敛性；在原级数中带入x=R判断x=R处右端点的收敛性；6.综合左右端点收敛性和收敛半径得到级数的收敛域。
分成两个幂级数，分别求收敛半径，取半径小的，计算收敛区间，把e代入f(x)
得到f(x)＝1－1＋k＝k，先凑微分，再用分部积分法。
过程如下图：
幂级数是一类重要的函数项级数，讨论它的收敛域是这部分学习的一个重点，而求收敛域最关键的是求它的收敛半径。
虽然所有教材给出了求幂级数收敛半径的方法，但有一定的局限性：
1、当考虑的幂级数不是完全幂级数时不可直接使用；
2、设定理的条件仅是充分的的情况下。
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希望本篇文章《求幂级数的收敛半径及收敛域》能对你有所帮助！
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