先写出有关矩阵
1 a 1
a 1 b
1 b 1,
通过f=y2的平方+2y3的平方，可知，矩阵的特征值是0,1,2
1 a 1
a 1 b
1 b 1 的行列式的值=0*1*2（矩阵特征值的性质）
则可以求出a与b的值
第1题
（1）二次型矩阵A=
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
（2）
|λI-A|=
λ -1 0 0
-1?λ 0 0
0 0?λ -1
0 0 -1?λ
按照第1行展开，或者使用分块矩阵的方法求行列式，得到
=(λ?-1)?
令其等于0，解得λ=1（两重特征值）或-1（两重特征值）
将特征值λ=1，代入特征矩阵，解相应的线性方程组（I-A）X=0，得到基础解系
(1 1 0 0)T?(0 0 1 1)T
将特征值λ=-1，代入特征矩阵，解相应的线性方程组（-I-A）X=0，得到基础解系
(1 -1 0 0)T?(0 0 1 -1)T
因此得到线性无关的特征向量
(1 1 0 0)T , (0 0 1 1)T ,?(1 -1 0 0)T , (0 0 1 -1)T
（3）
显然(1 1 0 0)T , (0 0 1 1)T ,?(1 -1 0 0)T , (0 0 1 -1)T
这4个特征向量，之间都是正交的，
下面将其全部单位化，得到
(1/√2 1/√2 0 0)T , (0 0 1/√2 1/√2)T ,?(1/√2 -1/√2 0 0)T , (0 0 1/√2 -1/√2)T
显然矩阵P=（(1/√2?1/√2?0 0)T , (0 0 1/√2?1/√2)T ,?(1/√2?-1/√2?0 0)T , (0 0 1/√2?-1/√2)T），是正交矩阵，且可以使得
P?AP=Λ=diag(1,1,-1,-1)
因此令T=P，可使得作正交线性替换X=TY，使得二次型化成标准型
y1?+y2?-y3?-y4?
第四大题
设过渡矩阵为P，则可以使用初等行变换来求：
1 2 1 1 2 2
0 1 1 2 2 -1
1 0 1 -1 -1 -1
第3行, 加上第1行×-1
1 2 1 1 2 2
0 1 1 2 2 -1
0 -2 0 -2 -3 -3
第1行,第3行, 加上第2行×-2,2
1 0 -1 -3 -2 4
0 1 1 2 2 -1
0 0 2 2 1 -5
第1行,第2行, 加上第3行×1/2,-1/2
1 0 0 -2 -3/2 3/2
0 1 0 1 3/2 3/2
0 0 2 2 1 -5
第3行, 提取公因子2
1 0 0 -2 -3/2 3/2
0 1 0 1 3/2 3/2
0 0 1 1 1/2 -5/2
得到矩阵P
-2 -3/2 3/2
1 3/2 3/2
1 1/2 -5/2
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希望本篇文章《二次型矩阵求详解》能对你有所帮助！
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本文概览：先写出有关矩阵1 a 1a 1 b1 b 1,通过f=y2的平方+2y3的平方，可知，矩阵的特征值是0,1,21 a 1a 1 b1 b 1 的行列式的值=0*1...