极值的三个充要条件是：函数在该点可导，一阶导数为零，二阶导数为正负。
1.极值点的必要条件：
可导性：函数在极值点附近必须是可导的，即函数在该点存在定义并且斜率有限。这是因为极值点是函数图像上的拐点，要求函数图像在该点附近是光滑的。
一阶导数为零：函数在极值点的一阶导数为零，即切线与x轴重合或平行。这是因为切线的斜率代表了函数的增减趋势，而极值点处切线的斜率为零，表示函数在该点的增减趋势发生了改变，从上升变为下降或从下降变为上升。
二阶导数为正负：函数在极值点的二阶导数必须存在且符号相反，即函数曲线在该点的弯曲方向发生了改变。当二阶导数大于零时，函数曲线在该点处向上凸起，表示函数由减小转为增大；当二阶导数小于零时，函数曲线在该点处向下凹陷，表示函数由增大转为减小。
2.极值点的充分条件：
驻点性质：如果函数在极值点附近满足一阶导数为零且二阶导数存在，那么该点就是极值点。这是因为一阶导数为零意味着函数的增减趋势发生了改变，而二阶导数的存在保证了函数曲线弯曲方向的改变，从而确定了极值的位置。
二阶导数的正负：根据二阶导数的正负可以确定极值的类型。当二阶导数大于零时，极值点为局部极小值；当二阶导数小于零时，极值点为局部极大值。
3.极值点的判定方法：
求解导数：通过求解函数的一阶导数，找出一阶导数为零的点，即可能的极值点。
二阶导数的符号：计算一阶导数对应的二阶导数，并确定其符号。若二阶导数大于零，则该点为极值点的候选；若二阶导数小于零，则排除该点。
极值点的类型判断：根据二阶导数的符号判断极值点的类型，即局部极小值或局部极大值。
关于什么情况下驻点不是极值点如下：
极值点不一定是驻点如y=|x|,在x=0点处不可导,故不是驻点,但是极(小)值点。驻点也不一定是极值点如y=x3,在x=0处导数为0,是驻点,但没有极值,故不是极值点。可导函数的极值点必定是它的驻点把极值点中不可导的情况刨除掉,那极值点就必定是驻点,但反过来未必成立——可导函数的驻点不一定是极值点。
拓展知识：
函数（function），数学术语。其定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作fx，得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
函数的由来
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是中国清代数学家李善兰在翻译《代数学》1859年一书时，把function译成函数的。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。
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